Capítulo 02. Polinômios

6.3. Considerações sobre o Grau

Sendo A e B dois polinômios não-nulos, o grau do produto A · B é a soma dos graus dos polinômios A e B.

No caso de um dos polinômios A ou B ser identicamente nulo, o produto A · B é identicamente nulo (o grau não é definido).

Exemplo

GA = 5 e GB = 3 GA + B = 8

7. Divisão de Polinômios

7.1. Definição

Dados dois polinômios, A(x) e B(x), B não-nulo, existe um único par de polinômios Q (x) e R(x) em que se verificam as condições:

1a) A(x) B(x) · Q(x)+ R(x)

2a) GR < GB ou R(x) 0

 

Os polinômios A e B são chamados de dividendo e divisor e os polinômios Q e R são o quociente e o resto.

Quando R(x) 0 , dizemos que a divisão é exata, ou que A(x) é divisível por B(x).

7.2. O Método da Chave

Dividir o polinômio A(x) pelo polinômio B(x), não-nulo, significa determinar o quociente Q(x) e o resto R(x).

Vamos dividir, por exemplo, o polinômio

A(x) = 2x3 – 8x2 +7x – 5 por B(x) = x2 – 2x + 3, pelo método da chave.

1a etapa

Dividimos inicialmente 2x3 por x2, encontrando 2x.

2a etapa

Multiplicamos 2x por x2 – 2x + 3 e vemos “quanto falta para 2x3 – 8x2 + 7x – 5”, isto é, subtraímos:

2x3 – 4x2 + 6x de 2x3 – 8x2 + 7x – 5.

3a etapa

Enquanto o grau do resto for maior ou igual ao grau do divisor, continuamos a divisão. Dividimos então – 4x2 por x2, encontrando – 4.

4a etapa

Multiplicamos – 4 por x2 – 2x + 3 e vemos “quanto falta para – 4x2 + x – 5”.

Nesse ponto terminamos a divisão, pois o grau de
– 7x + 7 é menor que o grau do divisor.

Portanto, temos:

Quociente = Q(x) = 2x – 4

Resto = R(x) = – 7x + 7

7.3. Considerações sobre o Grau

Sendo A e B dois polinômios não-nulos, o grau do quociente Q(x) é a diferença entre os graus dos polinômios A e B, e o resto, se não for nulo, terá grau menor que o grau de B(x).

7.4. O Método de Descartes

Vamos dividir, por exemplo, o polinômio

A (x) = 2x3 – 8x2 + 7x – 5 por B(x) = x2 – 2x + 3 pelo método de Descartes, também conhecido como método dos coeficientes a determinar.

1a etapa

Estimamos quem serão o quociente Q(x) e o resto R(x) da divisão, lembrando que GQ = GA – GB = 1, e, se o resto não for nulo, GR < GB.


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