Capítulo 06. Múltiplos e Divisores

8. Propriedades do MDC e do MMC

Vamos observar, a seguir, uma propriedade do MDC e MMC que pode facilitar a sua utilização:

Propriedade 1

Justificativa

Consideremos os números A e B decompostos em fatores primos:




Para o cálculo do MDC (A, B), tomamos os fatores comuns com os menores expoentes; para o cálculo do MMC (A, B), tomamos todos os fatores comuns ou não comuns com os maiores expoentes. Vamos considerar o caso do fator a:




No produto A · B, o fator a terá expoente . No produto MDC (A, B) · MMC (A, B), o fator a também terá expoente .

Fazendo a mesma consideração para todos os outros fatores primos, verificaremos que os mesmos fatores, com os mesmos expoentes, que compõem o produto dos números A e B, compõem, também, o produto do MDC e o MMC destes números e, portanto:

Propriedade 2

Propriedade 3

Propriedade 4

Os divisores comuns de dois ou mais números naturais são os divisores do MDC destes números.

Propriedade 5

Os múltiplos comuns de dois ou mais números naturais são os múltiplos do MMC destes números.

Propriedade 6

Dois números são considerados primos entre si se o MDC deles for igual a 1.

Os números 5 e 7 são primos entre si, bem como 4 e 9, pois MDC (5, 7) = 1 e MDC (4, 9) =1. Notemos que, para que os números sejam primos entre si, não é necessário que eles sejam primos.

Propriedade 7

Dois números naturais consecutivos são, sempre, primos entre si.

Propriedade 8

Para os dois números primos entre si, o MMC é o produto deles.
 

Exercícios Resolvidos


01. Duas composições de metrô partem simultaneamente de um mesmo terminal fazendo itinerários diferentes. Uma torna a partir do terminal a cada 80 minutos; a outra a cada hora e meia. Determine o tempo percorrido entre duas partidas simultâneas consecutivas do terminal.

Resolução


Sejam A e B as composições.
A parte em instantes que são múltiplos de 80:
B parte em instantes que são múltiplos de 90.
Vamos obter MMC (80, 90)


MMC (80,90) = 720 min

Passando para horas

Resposta: As partidas simultâneas ocorrerão a cada 12 horas.


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